如图所示，高度h=0.8m的光滑导轨AB位于竖直平面内，其末端与长度L=0.7m的粗糙水平导轨BC相连，BC与竖直放置内壁光滑的半圆形管道CD相连，半圆的圆心O在C点的正下方，C点离地面的高度H=1.25m

Question

如图所示，高度h=0.8m的光滑导轨AB位于竖直平面内，其末端与长度L=0.7m的粗糙水平导轨BC相连，BC与竖直放置内壁光滑的半圆形管道CD相连，半圆的圆心O在C点的正下方，C点离地面的高度H=1.25m．一个质量m=1kg的小滑块（可视为质点），从A点由静止下滑，小滑块与BC段的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，不计空气阻力．

（1）求小滑块在水平导轨BC段运动的时间；
（2）若半圆的半径r=0.5m，求小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力；
（3）若半圆形管道半径可以变化，则当半径为多大时，小滑块从其下端射出的水平距离最远？最远的水平距离为多少？

Answer 1

（1）设进入水平导轨BC的初速度为v_B，由机械能守恒定律有：
  mgh=(1)/(2)m

v

2 B

得 vB=√(2gh)=4m/s
滑块在BC段所受的摩擦力为 f=μmg
加速度     a=(f)/(m)=μ•g=5m/s2
由x=vBt-(1)/(2)at2
解得     t=0.2s
（2）滑块到达C点的速度 v_C=v_B-at=3m/s
在C点，由牛顿第二定律得 FN+mg=(mv2)/(r)
代入数据可得   F_N=8N，方向竖直向下
所以小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力大小为8N，方向竖直向上                
（3）设平抛运动的时间为t，则有：H-2r=(1)/(2)gt2
水平射程为：x=v_Dt
从C到D的过程，由动能定理：mg•2r=(1)/(2)m

v

2 D

-(1)/(2)m

v

2 C

解得  x=√((2(H-2r))/(g))√((v2C+4gr))
当r=0.2m时水平射程最远．最远距离为x_m=1.7m．
答：
（1）小滑块在水平导轨BC段运动的时间是0.2s；
（2）若半圆的半径r=0.5m，小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力大小为8N，方向竖直向上；
（3）若半圆形管道半径可以变化，则当半径为0.2m时，小滑块从其下端射出的水平距离最远，最远的水平距离为1.7m．