一阶二次递归数列的题型方法!额可以顺便讲下二阶线性递归数列么?

Question

一阶二次递归数列 的题型 方法!额 可以顺便讲下二阶线性递归数列么?

Answer 1

一阶二次递归数列：
二次递归数列不具有普遍的求通项的方法,只有个别情况可解
例如：
（一）换元法
递推式：
a(n+1)=2*an^2-1
1)当|a1|=1时,显然有an=1（n>=2,n∈N*）
2)当|a1|1时
令a1=(t+1/t)/2
显然,由数学归纳法可证明
an=(t^(2^(n-1))+1/(t^(2^(n-1)))/2
变式1
递推式：
a(n+1)=an^2-2
1)当|a1|=2时,显然有an=2（n>=2,n∈N*）
2)当|a1|2时
令a1=t+1/t
显然,由数学归纳法可证明
an=t^(2^(n-1))+1/(t^(2^(n-1))
变式2
递推式：
a(n+1)=((an+1)/2)^0.5
（a1>=0）
1)当a1=1时,显然有an=1（n>=2,n∈N*）
2)当a11时
令a1=(t+1/t)/2
显然,由数学归纳法可证明
an=(t^(2^(1-n))+1/(t^(2^(1-n)))/2
变式3
递推式：
an=(a(n-1)+2)^0.5
（a1>=0）
1)当a1=2时,显然有an=2（n>=2,n∈N*）
2)当a12时
令a1=t+1/t
显然,由数学归纳法可证明
an=t^(2^(1-n))+1/(t^(2^(1-n))
（二）配方法
递推式：
a(n+1)=A*an^2+B*an+C
且A、B、C满足B^2-4*A*C=2B,
a1=D
A,B,C,D为常数,A不为0
则有a(n+1)+B/(2A)=A*(an+B/(2A))^2
两边取对数,令xn=ln(an+B/(2A))
则有x(n+1)=2*xn+ln(A)
这样即转化成了一阶常系数线性递推数列.
变式：
递推式：
a(n+1)=A*an^2+B*an+C
A,B,C为常数,A不为0
可利用配方法,将其转化为
a(n+1)+B/(2A)=A*(an+B/(2A))^2+C+B/(2A)-(B^2)/(4*A)
不妨设
xn=an+B/(2A)
C+B/(2A)-(B^2)/(4*A)=-P
若A>0,P>0
即转化为
x(n+1)=A*xn^2-P
若
满足
AP=2
则可化为
A*x(n+1)=(A*xn)^2-2
接下来即可用换元法解决
二阶线性递归数列：
如果是二阶常系数线性递归数列的话,存在通解（如果系数不是常数那就很麻烦,也只有个别情况下可解,我只给出二阶常系数线性递归数列的解法）
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n),即为二阶常系数线性递归数列
如果f(n)=0,称为二阶常系数齐次线性递归数列
对于二阶常系数齐次线性递归数列
递推式：
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
（n∈N*,p,q为常数）
1）待定系数法
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
可转化为等比数列：
a(n+2)-α*a(n+1)=β*(a(n+1)-α*an)
和
a(n+2)-β*a(n+1)=α*(a(n+1)-β*an)
其中α+β=A
α*β=-B
2）特征根法
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
其特征方程为x^2-p*x-q=0
i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β
则an=A*α^n+B*β^n
其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
ii.若其有两个相等的根α
则an=(A*n+B)*α^n
其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
最终可得：
当{an}有两个不等的特征根为根α,β时
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)
当特征根为重根α时
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
当f(n)不为0时
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n)
利用待定系数法,将f(n)分配入各单项式,使之满足：
g(n+2)+f(n)=p*g(n+1)+q*g(n)
这个g(n)称为特解
（当然前提是f(n)表达式不过于复杂,否则的话非常麻烦）
这样,令bn=an+g(n)
原递推式化为
b(n+2)=p*b(n+1)+q*bn
bn称为通解
最后an=bn-g(n)
即得到答案