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已知等比数列{an}的公比q>1,且a1与a4的一等比中项为42,a2与a3的等差中项为6.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=Sn+3+(-1)n+1an2(n∈N*),请比较bn与bn+1的大小
题目详情
已知等比数列{an}的公比q>1,且a1与a4的一等比中项为4
,a2与a3的等差中项为6.
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=Sn+3+(-1)n+1an2(n∈N*),请比较bn与bn+1的大小;
(Ⅲ)数列{an}中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若不存在,则加以证明.
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(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=Sn+3+(-1)n+1an2(n∈N*),请比较bn与bn+1的大小;
(Ⅲ)数列{an}中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若不存在,则加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(I)由题意得
,
解得
或
-(2分)
由公比q>1,可得a2=4,a3=8,q=
=2.(3分)
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n.(5分)
(Ⅱ)a1=2,Sn=
=2n+1−2,(6分)
bn=Sn+3+(-1)nan2=(2n+4-2)+(-1)n+122n,
bn+1=(2n+5-2)+(-1)n22(n+1),
bn+1-bn=2n[16+5(-1)n2n].(8分)
当n=1或为正偶数时,bn+1-bn>0,bn+1>bn;-(9分)
当n正奇数且n≥3时,bn+1-bn=2n(16-5×2n)≤2n(16-5×23)<0,bn+1<bn.(10分)
(Ⅲ)假设数列{an}中存在三项ak,am,an(k<m<n)成等差数列,(11分)
则ak+an=2am,即2k+2n=2m,1+2n-k=2m-k,(12分)
由k<m<n知1+2n-k为奇数,2m-k为偶数,从而某奇数=某偶数,产生矛盾.(13分)
所以数列{an}中不存在三项,按原顺序成等差数列.(14分)
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解得
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由公比q>1,可得a2=4,a3=8,q=
a3 |
a2 |
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n.(5分)
(Ⅱ)a1=2,Sn=
2(1−2n) |
1−2 |
bn=Sn+3+(-1)nan2=(2n+4-2)+(-1)n+122n,
bn+1=(2n+5-2)+(-1)n22(n+1),
bn+1-bn=2n[16+5(-1)n2n].(8分)
当n=1或为正偶数时,bn+1-bn>0,bn+1>bn;-(9分)
当n正奇数且n≥3时,bn+1-bn=2n(16-5×2n)≤2n(16-5×23)<0,bn+1<bn.(10分)
(Ⅲ)假设数列{an}中存在三项ak,am,an(k<m<n)成等差数列,(11分)
则ak+an=2am,即2k+2n=2m,1+2n-k=2m-k,(12分)
由k<m<n知1+2n-k为奇数,2m-k为偶数,从而某奇数=某偶数,产生矛盾.(13分)
所以数列{an}中不存在三项,按原顺序成等差数列.(14分)
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