设f(a)在[ab]上连续,在(ab)内可导,且f(a)=f(b)=0则存在m属于(ab),使f`(m)=f(m)求证题

Question

设f(a)在[a b]上连续,在(ab)内可导,且f(a)=f(b)=0则存在m属于(ab),使f`(m)=f(m)求证题

Answer 1

如果f恒为0,结论显然.下面不妨设 存在 x0,使得 f(x0) > 0.设
a1 = 集合{x | f(x)=0,x x0}的最小值.
因为 f^(-1)(0) 是闭集,于是 f(a1)=f(b1)=0,同时 当a1 0.所以在（a1,b1）中存在 m 使得 F'(m)= 0,即 f(m) = f'(m).