某品牌专卖店采购了男女两款T恤,进价均为30元,并以相同的销售价x元进行销售,其中50小于等于x小于等于120,经市场调查发现:女款T恤的销售价位50元时,月销售量为120件,销售价不超过90元时,价

Question

某品牌专卖店采购了男女两款T恤,进价均为30元,并以相同的销售价x元进行销售,其中50小于等于x小于等于120,经市场调查发现:女款T恤的销售价位50元时,月销售量为120件,销售价不超过90元时,价格每上涨1元,销售量减少1件,销售价不低于90元时,超过90元的部分每上涨1元,销售量比销售价为90元时的销量减少2件,设该品牌专卖店销售女款T恤的月利润为Y1元.
(1).填空:若女款T恤的销售价为90元,则月销售量为____件,若女款T恤的月销售量为100件,则销售价为____元.
(2).求Y1与X的函数解析式.
(3).若销售男款T 恤的月利润Y2元与X的函数解析式为Y2=-20X+3000,求销售这两款T恤的月利润总和Y与X的函数解析式.该专卖店经理应如何定价,才能使每月获得的月利润Y最大?求出最大利润.

Answer 1

1.
90元时销量为120-（90-50）*1=80件
100件时价格为50+(120-100)/1=70元
2.Y1=销量*（售价-成本）,因此为
50≤X≤90时,Y1=(120-(X-50))(X-30)=(170-X)(X-30)=-X^2+200X-5100
90＜X≤120时,Y1=(120-(90-50)-2(X-90))(X-30)=(260-2X)(X-30)=-2X^2+320X-7800
3.Y=Y1+Y2 
50≤X≤90时,Y=-X^2+200X-5100-20X+3000=-X^2+180X-2100
90＜X≤120时,Y=-2X^2+320X-7800-20X+3000=-2X^2+300X-4800
最大利润为边界值和区间极值中较大的一个.
极点即dY/dX=0
50≤X≤90时,即-2X=180,X=90
90＜X≤120时,即-4X=300,X=75,因在X范围之外,舍去.
因此极值为MAX（Y(50),Y(90),Y(120)）=Max（7400,21000,2400）=21000
所以最大利润为21000元,定价为90元.