如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”．它可等效为如图乙所示的模型：竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点在轨

Question

如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”．它可等效为如图乙所示的模型：竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点在轨道外侧做完整的圆周运动，A、B两点分别为轨道上的最高与最低点．质点受轨道的磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g．
（1）判断质点运动过程中机械能是否守恒，并说明理由；
（2）若质点在A点的速度为√(gR)，求质点在该点对轨道的弹力；
（3）若磁性引力大小F可变，质点仍做完整圆周运动，求(F)/(mg)得最小值．

Answer 1

（1）质点运动过程中机械能守恒，因为只有重力做功，所以质点的机械能守恒．
（2）设轨道对质点有向上的大小为F_N的弹力．根据牛顿第二定律得：
F+mg-F_N=m(v2)/(R)
代入数据解得：F_N=F
由牛顿第三定律知：质点对轨道的弹力大小为F，方向竖直向下．
（3）质点在B点不脱离轨道即可，当v_A=0，到达B点的速度最小，机械能守恒定律得：
mg•2R=(1)/(2)m

v

2 B

在B点，有：F_B-mg-F_N=m(v2B)/(R)
所以有：F_B=5mg+F_N
当F_N=0时，磁性引力最小，故得：((F)/(mg))min=5
答：（1）质点运动过程中机械能是守恒的，因为只有重力做功；
（2）若质点在A点的速度为√(gR)，质点对轨道的弹力大小为F，方向竖直向下；
（3）若磁性引力大小F可变，质点仍做完整圆周运动，(F)/(mg)得最小值是5．