如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长都为a，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，侧棱A1A⊥平面ABCD，F为棱B1B的中点，M为线段AC1的中点．（Ⅰ）求证：平面AFC1⊥平面A1C1AC；（Ⅱ）求三棱锥C1-ABF的体积

Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长都为a，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，侧棱A₁A⊥平面ABCD，F为棱B₁B的中点，M为线段AC₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面AFC₁⊥平面A₁C₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-ABF的体积．

Answer 1

（1）证明：（如上图）连结BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC、A₁A⊂平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（7分）
而NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC₁A₁．
又∵NA⊂平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁                                           …（9分）
（2）∵∠DAB=60°，∴C到AB的距离为：asin60°=(√(3))/(2)a，就是C₁到平面ABF的距离，AD=AA₁=a，
∴三棱锥A₁-AC₁F的体积：(1)/(3)×(1)/(2)AB•BF•(√(3))/(2)a=(1)/(3)×(1)/(2)×a×(1)/(2)a×(√(3))/(2)a=(√(3))/(24)a3…（12分）