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(2012•海淀区二模)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AB,BB',B'C',C'D'的中点分别是E,F,G,H,如图所示.(Ⅰ)求证:AD'∥平面EFG;(Ⅱ)求证:A'C⊥平面EFG;(Ⅲ)判断点A,D',H,F是否共面

题目详情
(2012•海淀区二模)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AB,BB',B'C',C'D'的中点分别是E,F,G,H,如图所示.
(Ⅰ)求证:AD'∥平面EFG;
(Ⅱ)求证:A'C⊥平面EFG;
(Ⅲ)判断点A,D',H,F是否共面?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连接BC',在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=C'D',AB∥C'D'.
所以,四边形ABC'D'是平行四边形,所以,AD'∥BC'.
因为 F,G分别是BB',B'C'的中点,所以 FG∥BC',所以,FG∥AD'.
因为 EF,AD'是异面直线,所以,AD'⊄平面EFG.
因为 FG⊂平面EFG,所以,AD'∥平面EFG.



(Ⅱ)证明:连接B'C,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,A'B'⊥平面BCC'B',BC'⊂平面BCC'B',所以,A'B'⊥BC'.
在正方形BCC'B'中,B'C⊥BC',
因为 A'B'⊂平面A'B'C,B'C⊂平面A'B'C,A'B'∩B'C=B',所以,BC'⊥平面A'B'C.
因为  A'C⊂平面A'B'C,所以,BC'⊥A'C.
因为 FG∥BC',所以,A'C⊥FG,同理可证:A'C⊥EF.
因为 EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EF∩FG=F,所以,A'C⊥平面EFG.


(Ⅲ)点A,D',H,F不共面.理由如下:
假设A,D',H,F共面.连接C'F,AF,HF.
由(Ⅰ)知,AD'∥BC',因为 BC'⊂平面BCC'B',AD'⊄平面BCC'B',所以,AD'∥平面BCC'B'.
因为 C'∈D'H,所以,平面AD'HF∩平面BCC'B'=C'F.
因为 AD'⊂平面AD'HF,所以 AD'∥C'F.
所以,C'F∥BC',而C'F与BC'相交,矛盾.
所以,点A,D',H,F不共面.