如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为．

Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为___．

Answer 1

如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，

∵AD∥BC，
∴∠PFC=∠DEP=90°，
∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵∠DPC=90°，
∴∠CPF+∠DPE=90°，
∴∠PCF=∠DPE，
在△PCF和△DPE中，
∵

∠PCF=∠DPE

∠PFC=∠DEP

PC=DP

，
∴△PCF≌△DPE（AAS），
∴PF=DE、PE=CF，
设PF=DE=x，则PE=CF=4-x，
∵S_{四边形ABCD}=(1)/(2)（AD+BC）•AB=12，
∴(1)/(2)×（AD+4）×4=12，解得AD=2，
∴AE=BF=2-x，
∴FC=BC-BF=4-（2-x）=2+x，
可得2+x=4-x，解得x=1，
∴BP=√(BF2+PF2)=√(2)，
故答案为：√(2)．