如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点P，O为线段BP上一点（不与B、P重合），以O为圆心OA为半径作O交直线AD、AB于E、F．（1）求证：点C在O上；（2）求证：DE=BF；（3）若AB=42，DE=2，求BO的

Question

如图，正方形ABCD中，对角线 AC、BD交于点P，O为线段BP上一点（不与B、P重合），以O为圆心OA为半径作 O交直线AD、AB于E、F．

（1）求证：点C在 O上；
（2）求证：DE=BF；
（3）若AB=4√(2)，DE=√(2)，求BO的长度．

Answer 1

（1）证明：如图1中，连接OC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴OC=OA，
∴点C在 O上．

（2）连接CE、CF，

∵四边形AFCE是 O的内接四边形，
∴∠BFC+∠AEC=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，
∴∠BFC=∠DEC，
∵CD=BC，∠ADC=∠FBC=90°，
在△CBF和△CDE中，

∠CDE=∠CBF

∠CED=∠CFB

CD=CB

，
∴△FBC≌△EDC，
∴DE=BF．

（3）如图3中，连接EF，作OK⊥AB于K．

∵∠EAF=90°，
∴EF是 O的直径，
∴OE=OF，
∵OK⊥AF，
∴AK=KF，
∴OK=(1)/(2)AE，
∵AB=AD=4√(2)，DE=√(2)，
∴AE=AD-DE=3√(2)，
∴OK=(3√(2))/(2)，
∵∠OBK=45°，
∴BO=√(2)OK=3．