如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=1nAD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理

Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=(1)/(n)AD （n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=4，n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S₁，矩形ABCD的面积为S₂，当(S1)/(S2)=(17)/(30)时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO=∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO=OE；
∵在△EFO和△BGO中，

∠EFO=∠BGO

∠EOF=∠BOG

EO=BO

，
∴△EFO≌△BGO，
∴EF=BG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∵FG是BE的垂直平分线，
∴FB=FE，
∴平行四边形BGEF为菱形；
（2）当AB=4，n=3时，
∴AD=8，AE=(16)/(3)，
由勾股定理得，BE=(20)/(3)，
AF=AE-EF=AE-BF，
在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，即（(16)/(3)-BF）²+4²=BF²，
解得，BF=(25)/(6)，
则AF=(7)/(6)，
菱形BGEF面积=(1)/(2)BE•FG=EF•AB，即(1)/(2)×(20)/(3)×FG=(25)/(6)×4，
解得，FG=5；
（3）设AB=x，则DE=(2x)/(n)，
S₁=BG•AB，S₂=BC•AB
当(S1)/(S2)=(17)/(30)时，(BG•AB)/(AB•AD)=(17)/(30)，
则BG=(17)/(15)x，
在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，计算可得AF=(8)/(15)x，
∴AE=AF+FE=AF+BG=(5)/(3)x，DE=AD-AE=(1)/(3)x，
∴(1)/(3)x=(2x)/(n)，
∴n=6．