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(2013•婺城区一模)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F
题目详情
(2013•婺城区一模)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F三点共线.
(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?
(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?
(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.
(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?
(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?
(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,得到△QFP和△PCE,
∴△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,
∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.
∵点E平分线段PF,
∴EF=EP=PB.
∵AB=4,
∴PB=
,AP=
.
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180.
∴∠QPA+∠CPB=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠QPA=∠PCB,
∴△QAP∽△PBC,
∴
=
,
∴
=
∴QA=
;
(2)由题意,得
EP-PF=2.
∴PB-AP=2,
∵AP+PB=4,
∴2BP=6,
∴BP=3,
∴AP=1.
由题意,得
PF-EP=2.
∴AP-PE=2,
∵AP+PB=4,
∴2AP=6,
∴AP=3,
故AP的长为1或3;
(3)①若CE与点A在同一直线上,则
△AEP∽△ABC
∴
=
,
设AP=x,
∴
=
∴x=5-
②如图3,若CE与QE在同一直线上,则
∴EP=AP=BP,
∴2AP=4,
∴AP=2.
∴△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,
∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.
∵点E平分线段PF,
∴EF=EP=PB.
∵AB=4,
∴PB=
4 |
3 |
8 |
3 |
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180.
∴∠QPA+∠CPB=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠QPA=∠PCB,
∴△QAP∽△PBC,
∴
QA |
PB |
AP |
BC |
∴
QA | ||
|
| ||
2 |
∴QA=
16 |
9 |
(2)由题意,得
EP-PF=2.
∴PB-AP=2,
∵AP+PB=4,
∴2BP=6,
∴BP=3,
∴AP=1.
由题意,得
PF-EP=2.
∴AP-PE=2,
∵AP+PB=4,
∴2AP=6,
∴AP=3,
故AP的长为1或3;
(3)①若CE与点A在同一直线上,则
△AEP∽△ABC
∴
AP |
AC |
PE |
BC |
设AP=x,
∴
x | ||
2
|
4−x |
2 |
∴x=5-
5 |
②如图3,若CE与QE在同一直线上,则
∴EP=AP=BP,
∴2AP=4,
∴AP=2.
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