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如图1,已知△ABC是等边三角形,点D是边BC的中点,∠ADE=60°,且DE与∠ACB的外角平分线CE相交于点E.(1)证明△ADE是等边三角形,请写出证明过程;(2)若D是BC的延长线上(C点除外)的任
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如图1,已知△ABC是等边三角形,点D是边BC的中点,∠ADE=60°,且DE与∠ACB的外角平分线CE相交于点E.
(1)证明△ADE是等边三角形,请写出证明过程;
(2)若D是BC的延长线上(C点除外)的任意一点,其他条件不变(如图2)那么△ADE是等边三角形是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(1)证明△ADE是等边三角形,请写出证明过程;
(2)若D是BC的延长线上(C点除外)的任意一点,其他条件不变(如图2)那么△ADE是等边三角形是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
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答案和解析
(1)证明:如图1,过D作AC的平行线交AB于P.
∴△BDP为等边三角形,BD=BP,
∴AP=CD,
∵∠BPD为△ADP的外角,
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC,
在△ADP和△DEC中,
,
∴△ADP≌△DEC(ASA),
∴AD=DE,
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
(2)成立.理由如下:
如图2,延长BA到P,连接PD.使AP=CD,与(1)相同,可证△BDP是等边三角形,
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°,
∠PAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°,
∴∠CDE=∠PAD,
同理可证,△APD≌△DCE,
∴AD=DE.
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
∴△BDP为等边三角形,BD=BP,
∴AP=CD,
∵∠BPD为△ADP的外角,
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC,
在△ADP和△DEC中,
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∴△ADP≌△DEC(ASA),
∴AD=DE,
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
(2)成立.理由如下:
如图2,延长BA到P,连接PD.使AP=CD,与(1)相同,可证△BDP是等边三角形,
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°,
∠PAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°,
∴∠CDE=∠PAD,
同理可证,△APD≌△DCE,
∴AD=DE.
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
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