以下条件中（）是函数f（x）在x0处有导数的必要且充分条件．A．f（x）在x0处连续B．f（x）在x0处可微分C．lim△x→0f(x0+△x)−f(x0−△x)△x存在D．limx→x0f′（x）存在

Question

以下条件中（　　）是函数f（x）在x₀处有导数的必要且充分条件．

A．f（x）在x₀处连续
B．f（x）在x₀处可微分
C．

lim

△x→0

(f(x0+△x)−f(x0−△x))/(△x)存在
D．

lim

x→x0

f′（x）存在

Answer 1

①选项A．可导能推出连续，但反之不成立，如f（x）=|x|在x=0连续，但不可导．故A错误；
②选项B．由于一元函数的可导与可微是等价的，故B正确；
③选项C．若f（x）在x₀处有导数，则

lim

△x→0

(f(x0+△x)−f(x0−△x))/(△x)=2f′（x₀）存在，但反之不成立，
如f（x）=|x|在x=0处，有

lim

△x→0

(f(x0+△x)−f(x0−△x))/(△x)=

lim

△x→0

(|△x|−|△x|)/(△x)＝0，但f（x）在x=0处不可导．故C错误；
④选项D．只能表明导函数在x=x₀处的极限存在，并不能说明f（x）在x₀处有导数，如f（x）=sgnx（符号函数），则f′（x）=0（x≠0）
显然满足D的要求，但f'（0）不存在．故D错误．
故选：B