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如图,直线y=x+b(b≠0)交坐标轴于A、B两点,交双曲线y=2x于点D,过D作两坐标轴的垂线DC、DE,连接OD.(1)求证:AD平分∠CDE;(2)对任意的实数b(b≠0),求证:AD•BD为定
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如图,直线y=x+b(b≠0)交坐标轴于A、B两点,交双曲线y=
(1)求证:AD平分∠CDE; (2)对任意的实数b(b≠0),求证:AD•BD为定值; (3)是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式;若不存在,请说明理由. ![]() |
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答案和解析
(1)证明:由y=x+b得A(-b,0),B(0,b). ∴∠DAC=∠OAB=45° 又∵DC⊥x轴,DE⊥y轴 ∴∠ACD=∠CDE=90° ∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE. (2)证明:∵∠ACD=90°,∠ADC=45°, ∴△ACD是等腰直角三角形, 同理可得,△BDE是等腰直角三角形, ∴AD=
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4为定值. (3)存在直线AB,使得OBCD为平行四边形. 若OBCD为平行四边形,则AO=AC,OB=CD. 由(1)知AO=BO,AC=CD, 设OB=a(a>0), ∴B(0,-a),D(2a,a), ∵D在y=
∴2a•a=2, ∴a 1 =-1(舍去),a 2 =1, ∴B(0,-1). 又∵B在y=x+b上, ∴b=-1. 即存在直线:y=x-1,使得四边形OBCD为平行四边形. |
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