如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,1)关于x轴的对称点为C,AC与x轴交于点B,将△OCB沿OC翻折后,点B落在点D处.(1)求点C、D的坐标;(2)求经过O、D、B三点的抛物线的解析式;(3)
如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(,1)关于x轴的对称点为C,AC与x轴交于点B,将△OCB沿OC翻折后,点B落在点D处.
(1)求点C、D的坐标;
(2)求经过O、D、B三点的抛物线的解析式;
(3)若抛物线的对称轴与OC交于点E,点P为线段OC上一点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q.
①当四边形EDQP为等腰梯形时,求出点P的坐标;
②当四边形EDQP为平行四边形时,直接写出点P的坐标.
答案和解析
(1)∵点A(
,1)关于x轴的对称点为C,AC与x轴交于点B,
∴AC⊥x轴于B,B(,0),C(,-1).
∴BC=AB=1,OB=.
∴OC=2,∠1=30°,∠3=60°,
由题意知:∠2=∠1=30°,OD=OB=,
∴∠NOD=30°.
过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥y轴于N,
在Rt△OND中,DN=OD=,ON=DN=.
由矩形ONDM得:OM=DN=.
∵点D在第四象限,
∴D(,-).
(2)设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为:y=ax2+bx.
依题意,得:,
解得;
∴此抛物线的解析式为:y=2x2-2x.
(3)∵y=2x2-2x=2(x-)2-,
∴点D为抛物线的顶点.
∴直线DM为抛物线的对称轴,交OC于E,由题意可知:∠4=∠3=60°,∠ODC=90°;
∴∠OEM=60°,
∴∠6=60°,
∴∠7=60°,
∴△EDC是等边三角形,∠8=30°.
∴CE=DE=OE=OC=1.
①当点P1在EC上时,四边形EDQ1P1为等腰梯形.
∵DM∥y∥P1Q1,EP1与DQ1不平行,
∴四边形EDQ1P1为梯形.
要使梯形EDQ1P1为等腰梯形,只需满足∠EDQ1=∠6=60°.
∵∠7=60°,
∴点Q1在DC上.
由C(,-1)、D(,-)求得直线CD的解析式为y=x-2.
又∵点Q1在抛物线上,
∴2x2-2x=x-2,
解得x1=,x2=(与点D重合,舍去);
∴点P1的横坐标为.
由(0,0)、C(,-1)求得直线OC的解析式为y=-x.
∵点P1在OC上,
∴y=-×=-,
即P1(,-).
②当点P2在OE上时,四边形EDQ2P2为平行四边形,此时P2点坐标为P2(,-).
综上所述:当P1(,-)时,EDQ1P1为等腰梯形;
当P2(,-)时,EDQ2P2为平行四边形.
已知直线l经过抛物线x^2=4y的焦点,且与抛物线交于A,B两点,点O为坐标原点.⑴证明:角AOB 2020-04-27 …
已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,其中O坐标原点 2020-05-13 …
经过抛物线y^2=4x的焦点F作与轴垂直的直线交抛物线于A、B两点,O是抛物线的顶点,再将直角坐标 2020-05-20 …
(2007•重庆)如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且于抛物线交于A、B两点.(Ⅰ)求抛物 2020-07-20 …
如图,倾斜角为a的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且于抛物线交于A、B两点.(Ⅰ)求抛物线的焦点 2020-07-20 …
小黑以《罪恶的“三角贸易”》为题,写了一篇历史小论文,文中涉及的错误史实是A.“三角贸易”的出发地 2020-07-25 …
已知直线l经过抛物线y平方等于6x的焦点F,且与抛物线相交于A.B两点.(1)若直线已知直线l经过抛 2020-11-03 …
如图,直线y=-3x+3与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=a(x-2)+k经过点A,B并与x轴 2020-11-04 …
外界物体反射来的光线,依次经过下列哪些结构到达视网膜?()A.瞳孔、角膜、晶状体、玻璃体B.角膜、瞳 2020-12-02 …
一三角形斜面体两斜面的倾角分别为A和B,一物体从倾角为A的斜面底角处作斜上抛运动.求为使物体从斜面体 2021-01-12 …