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已知函数f(x)=ex,g(x)=x-m,m∈R.(1)若曲线y=f(x)与直线y=g(x)相切,求实数m的值;(2)记h(x)=f(x)•g(x),求h(x)在[0,1]上的最大值;(3)当m=0时,试比较ef(x-2)与g(x
题目详情
已知函数f(x)=ex,g(x)=x-m,m∈R.
(1)若曲线y=f(x)与直线y=g(x)相切,求实数m的值;
(2)记h(x)=f(x)•g(x),求h(x)在[0,1]上的最大值;
(3)当m=0时,试比较ef(x-2)与g(x)的大小.
(1)若曲线y=f(x)与直线y=g(x)相切,求实数m的值;
(2)记h(x)=f(x)•g(x),求h(x)在[0,1]上的最大值;
(3)当m=0时,试比较ef(x-2)与g(x)的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)设曲线f(x)=ex与g(x)=x-m相切于点P(x0,y0),由f′(x)=ex,知e x0=1解得x0=0.又可求得P为(0,1),所以代入g(x)=x-m,解得m=-1.
(2)因为h(x)=(x-m)ex,所以h′(x)=ex+(x-m)ex=(x-(m-1))ex,x∈[0,1].
①当m-1≤0,即m≤1时,h′(x)≥0,此时h(x)在[0,1]上单调递增,所以h(x)max=h(1)=(1-m)e;
②当0<m-1<1,即1<m<2时,当x∈(0,m-1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(m-1,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,h(0)=-m,h(1)=(1-m)e.
(i)当-m≥(1-m)e,即
≤m<2时,h(x)max=h(0)=-m.
(ii)当-m<(1-m)e,即1<m<
时,h(x)max=h(1)=(1-m)e.
③当m-1≥1,即m≥2时,h′(x)≤0,此时h(x)在[0,1]上单调递减,所以h(x)max=h(0)=-m.
综上,当m<
时,h(x)max=(1-m)e;当m≥
时,h(x)max=-m.
(3)当m=0时,ef(x−2)=eex−2,g(x)=x.
①当x≤0时,显然ef(x-2)>g(x);
②当x>0时,lnef(x−2)=lneex−2=ex-2.lng(x)=lnx.
记函数ω(x)=ex−2−lnx=
×ex−lnx,则ω′(x)=
×ex−
=ex−2−
,可知ω′(x)在(0,+∞)上递增,
又由ω′(1)<0,ω′(2)>0知:ω′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x0,且1<x0<2,
则ω′(x0)=ex0−2−
=0,即ex0−2=
(*),
当x∈(0,x0)时ω′(x)<0,ω(x)递减;当x∈(x0,+∞)时,ω′(x)>0,ω(x)单调递增.
所以ω(x)≥ω(x0)=ex0−2−lnx0,结合(*)式,ex0−2=
,知x0-2=-lnx0,
所以ω(x)≥ω(x0)=
+x0−2=
=
>0,
则ω(x)=ex-2-lnx>0,即ex-2>lnx,所以eex−2>x,
综上ef(x-2)>g(x).
(2)因为h(x)=(x-m)ex,所以h′(x)=ex+(x-m)ex=(x-(m-1))ex,x∈[0,1].
①当m-1≤0,即m≤1时,h′(x)≥0,此时h(x)在[0,1]上单调递增,所以h(x)max=h(1)=(1-m)e;
②当0<m-1<1,即1<m<2时,当x∈(0,m-1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(m-1,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,h(0)=-m,h(1)=(1-m)e.
(i)当-m≥(1-m)e,即
e |
e−1 |
(ii)当-m<(1-m)e,即1<m<
e |
e−1 |
③当m-1≥1,即m≥2时,h′(x)≤0,此时h(x)在[0,1]上单调递减,所以h(x)max=h(0)=-m.
综上,当m<
e |
e−1 |
e |
e−1 |
(3)当m=0时,ef(x−2)=eex−2,g(x)=x.
①当x≤0时,显然ef(x-2)>g(x);
②当x>0时,lnef(x−2)=lneex−2=ex-2.lng(x)=lnx.
记函数ω(x)=ex−2−lnx=
1 |
e2 |
1 |
e2 |
1 |
x |
1 |
x |
又由ω′(1)<0,ω′(2)>0知:ω′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x0,且1<x0<2,
则ω′(x0)=ex0−2−
1 |
x0 |
1 |
x0 |
当x∈(0,x0)时ω′(x)<0,ω(x)递减;当x∈(x0,+∞)时,ω′(x)>0,ω(x)单调递增.
所以ω(x)≥ω(x0)=ex0−2−lnx0,结合(*)式,ex0−2=
1 |
x0 |
所以ω(x)≥ω(x0)=
1 |
x0 |
x02−2x0+1 |
x0 |
(x0−1)2 |
x0 |
则ω(x)=ex-2-lnx>0,即ex-2>lnx,所以eex−2>x,
综上ef(x-2)>g(x).
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