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已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同
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已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。 |
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答案和解析
已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。 |
（Ⅰ）由题意知 ，所以， ，即 ，又因为  ，所以， ，故椭圆C的方程为  。（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）， 由  得 ， ① 设点  ，则 ，直线AE的方程为  ，令y=0，得  ，将  代入整理，得 ，② 由①得  ，代入②整理，得x=1， 所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）。 |
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