已知函数f（x）=1+lnx-k(x-2)x，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若k=5，求f（x）零点的个数；（3）若k为整数，且当x>2时，f（x）>0恒成立，求

Question

已知函数f（x）=1+lnx-(k(x-2))/(x)，其中k为常数．
（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若k=5，求f（x）零点的个数；
（3）若k为整数，且当x>2时，f（x）>0恒成立，求k的最大值．（参考数据ln8=2.08，ln9=2.20，ln10=2.30）

Answer 1

（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′(x)=(1)/(x)，从而f'（1）=1．
又f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-1=x-1，
即x-y=0．
（2）当k=5时，f(x)=lnx+(10)/(x)-4．因为f′(x)=(x-10)/(x2)，从而，
当x∈（0，10），f'（x）<0，f（x）单调递减；
当x∈（10，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增．
所以当x=10时，f（x）有极小值．
因f（10）=ln10-3<0，f（1）=6>0，
所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．
因为f(e4)=4+(10)/(e4)-4>0，
所以f（x）在（10，e⁴）之间有一个零点．
从而f（x）有两个不同的零点．
（3）由题意知，1+lnx-(k(x-2))/(x)>0对x∈（2，+∞）恒成立，
即k<(x+xlnx)/(x-2)对x∈（2，+∞）恒成立．
令h=(x+xlnx)/(x-2)，则h′(x)=(x-2lnx-4)/((x-2)2)．
设v（x）=x-2lnx-4，则v′(x)=(x-2)/(x)．
当x∈（2，+∞）时，v'（x）>0，
所以v（x）在（2，+∞）为增函数．
因为v（8）=8-2ln8-4=4-2ln8<0，v（9）=5-2ln9>0，
所以存在x₀∈（8，9），v（x₀）=0，即x₀-2lnx₀-4=0．
当x∈（2，x₀）时，h'（x）<0，h（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，h'（x）>0，h（x）单调递增．
所以当x=x₀时，h（x）的最小值h(x0)=(x0+x0lnx0)/(x0-2)．
因为lnx0=(x0-4)/(2)，所以h(x0)=(x0)/(2)∈(4，4.5)．
故所求的整数k的最大值为4．