已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)(c＞0)，且c-a=2-，又双曲线C上的任意一点E满足||EF1|-|EF2||=2．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)若双曲线C上的点P

Question

已知双曲线C： =1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F ₁ (-c，0)，F ₂ (c，0)(c＞0)，且c-a=2- ，又双曲线C上的任意一点E满足||EF ₁ |-|EF ₂ ||=2 ．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)若双曲线C上的点P满足 =1 求 的值；

(Ⅲ)若直线y=kx+m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，-1)，求实数m的取值范围．

Answer 1

本小题考查双曲线方程，直线与圆锥曲线关系及向量的应用．(Ⅰ)由 ||EF1|-|EF2||=2a=．∵c-a=2-，∴c=2．∴b2=c2-a2=1．∴双曲线C的方程为=1．(Ⅱ)设||=r1，||=r2，不妨设r1＞r2＞0，∠F1PF2=θ．由·=1r1r2cosθ=1．又r1-r2=2-2r1r2=12．在△PF1F2中 由余弦定理得16=-2r1r2cosθ．∴r1r2=3．     ∴||·||=3．(Ⅲ)联立，整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0．∵直线与双曲线有两个不同交点，∴1-3k2≠0且△=12(m2+1-3k2)＞0．  ①  设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B (x0，y0)，则x1+x2= ∴x0= ∴y0=k x0+m=.由题意AB⊥MN，∴kAB=(k≠0，m≠0)．整理得3k2+4m+1． ②  将②式代入①式，得m2-4m＞0，∴m＞4或m＜0．又3k2=4m+1＞0(k≠0)即m＞．∴m的取值范围为m，4或＜m＜0．