设：1/x-1+1/y-1+1/z-1=1/x+y+z-3求证：x+y,y+z,z+x中至少有一个等于2.

Question

设：1/x-1+1/y-1+1/z-1=1/x+y+z-3 求证：x+y,y+z,z+x中至少有一个等于2.

Answer 1

首先换个元吧
设a=(x-1) b=(y-1) c=(z-1)
那么 条件就变成了
1/a +1/b+1/c=1/(a+b+c)
即 1/a+1/b=1/(a+b+c)-1/c
两边同时通分得
(a+b)/ab=(c-(a+b+c))/(a+b+c)c=-(a+b)/(a+b+c)c
所以有 a+b=0 或ab=-(a+b+c)c
若a+b=0即x+y=2
若ab=-(a+b+c)c 即ab+ac+bc+c²=0
即 a(b+c)+c(b+c)=0 (b+c)(a+c)=0
所以又 b+c=0或a+c=0
b+c=0 即 y+z=2
a+c=0即 z+x=2
所以x+y,y+z,z+x中至少有一个等于2.