如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值

Question

如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
（2）当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；
（3）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．

Answer 1

∵正方体的棱长为a，∴A（a，a，0），B（0，0，a），C（0，a，0），D（0，a，a）
可得AB的中点为（(1)/(2)a，(1)/(2)a，(1)/(2)a），CD中点为（0，a，(1)/(2)a）
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，
可得P（(1)/(2)a，(1)/(2)a，(1)/(2)a），设Q（0，a，m）（0≤m≤a）
∴PQ=√(((1)/(2)a−0)2+((1)/(2)a−a)2+((1)/(2)a−m)2)=√((1)/(2)a2+((1)/(2)a−m)2)≥√((1)/(2)a2+((1)/(2)a−(1)/(2)a)2)=(√(2))/(2)a
当且仅当m=

作业帮用户 2016-11-30 举报

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问题解析

（1）根据题意，得P（(1)/(2)a，(1)/(2)a，(1)/(2)a），设Q（0，a，m）（0≤m≤a），由空间两点之间的距离公式，可得PQ=√((1)/(2)a2+((1)/(2)a−m)2)，结合二次函数的性质加以研究，可得当且仅当Q为CD的中点时PQ有最小值(√(2))/(2)a；
（2）根据题意，得Q（0，a，(1)/(2)a），设P（n，n，a-n）（0≤n≤a），由空间两点之间的距离公式，可得PQ=
√(3(n−(1)/(2)a)2+(1)/(2)a2)，结合二次函数的性质加以研究，可得当且仅当P为AB的中点时，PQ的最小值为(√(2))/(2)a；
（3）设P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a），可得PQ关于λ、μ的表达式，用与（1）（2）类似的方法加以研究，结合二次函数的性质可得当且仅当P、Q分别为AB、CD的中点时，PQ的最小值为(√(2))/(2)a．

名师点评

本题考点：

点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题在正方体中求两个动点之间的距离的最小值，着重考查了空间两点之间的距离公式、二次函数的性质和正方体中的距离探索等知识，属于中档题．

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