下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图（1），（2），（3）中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3．则e1、e2、e3的大小关系为．

Question

下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F₁、F₂为焦点，设图（1），（2），（3）中的双曲线的离心率分别为e₁、e₂、e₃．则e₁、e₂、e₃的大小关系为______．

Answer 1

①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（(1)/(2)，(√(3))/(2)），
∵点（(1)/(2)，(√(3))/(2)）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是√((9)/(4)+(3)/(4))=√(3)和√((1)/(4)+(3)/(4))=1，
∴a=(√(3)−1)/(2)，c=1，∴e₁=√(3)+1．
②正方形的边长为√(2)，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（(1)/(2)，(1)/(2)）．
∵点（(1)/(2)，(1)/(2)）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是√((9)/(4)+(1)/(4))=(√(10))/(2)和√((1)/(4)+(1)/(4))=(√(2))/(2)，
∴a=(√(10)−√(2))/(4)，c=1，∴e₂=(√(10)+√(2))/(2)．
③设正六边形的边长为2，以F₁F₁所在直线为x轴，以F₁F₁的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，√(3)），
∵点（1，√(3)）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2√(3)和2，
∴a=√(3)-1，c=2，∴e₃=√(3)+1，
∴e₁=e₃＞e₂．
故答案为：e₁=e₃＞e₂．