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出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x−ax,已知g(x)在x=1处取极值.(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有x<2+f(x)2−f(x)成立
题目详情
出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x−a
,已知g(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有x<
成立;
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数,并说明理由.
x |
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有x<
2+f(x) |
2−f(x) |
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题设,g(x)=x2-alnx,
则g′(x)=2x−
.(1分)
由已知,g'(1)=0,
即2-a=0⇒a=2.(2分)
于是h(x)=x−2
,
则h′(x)=1−
.(3分)
由h′(x)=1−
>0⇒x>1,
所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.(4分)
证明:(Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2,
即0<f(x)<2.(5分)
欲证x<
,
只需证x[2-f(x)]<2+f(x),
即证f(x)>
.(6分)
设φ(x)=f(x)−
=lnx−
,
则φ′(x)=
−
=
.
当1<x<e2时,φ'(x)>0,
所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.(7分)
从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0,
即lnx>
,
故x<
.(8分)
(Ⅲ)由题设,h1(x)=x−2
+6.
则g′(x)=2x−
a |
x |
由已知,g'(1)=0,
即2-a=0⇒a=2.(2分)
于是h(x)=x−2
x |
则h′(x)=1−
1 | ||
|
由h′(x)=1−
1 | ||
|
所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.(4分)
证明:(Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2,
即0<f(x)<2.(5分)
欲证x<
2+f(x) |
2−f(x) |
只需证x[2-f(x)]<2+f(x),
即证f(x)>
2(x−1) |
x+1 |
设φ(x)=f(x)−
2(x−1) |
x+1 |
2(x−1) |
x+1 |
则φ′(x)=
1 |
x |
2(x+1)−2(x−1) |
(x+1)2 |
(x−1)2 |
x(x+1)2 |
当1<x<e2时,φ'(x)>0,
所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.(7分)
从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0,
即lnx>
2(x−1) |
x+1 |
故x<
2+f(x) |
2−f(x) |
(Ⅲ)由题设,h1(x)=x−2
x |
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