设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a＜2e2，试判断函数f（x）在x∈（1，e2）的零点个数，并说明你的理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，

Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若a＜(2)/(e2)，试判断函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数，并说明你的理由；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

在区间（0，+∞）上，f′(x)＝(1)/(x)−a＝(1−ax)/(x)．
（1）当a=2时，切线的斜率k=f′(1)＝(1−2×1)/(1)＝−1，
又f（1）=ln1-2×1=-2，
由点斜式得切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．                                                                                 
（2）方法一：
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在（1，e²）上单调递增，
此时f（1）=-a≥0，∴f（x）在x∈（1，e²）没有零点；                                                                                    
（ii）当a＞0时，令f'（x）=0，得x＝(1)/(a)．
①当0＜a≤(1)/(e2)即(1)/(a)≥e2时，则
当x∈（1，e²），有f′（x）≥0，从而f（x）在（1，e²）单调递增，
此时f（1）=-a＜0，f（e²）=lne²-ae²=2-ae²＞0，
∴f（x）在x∈（1，e²）有且只有一个零点．                                                                              
②当(1)/(e2)＜a＜(2)/(e2)即(e2)/(2)＜(1)/(a)＜e2时，则
当x∈(1，(1)/(a))时，f′(x)＞0，f（x）在(1，(1)/(a))单调递增；
当x∈((1)/(a)，e2)时，f′(x)＜0，f（x）在((1)/(a)，e2)单调递减．                                             
而f((1)/(a))＝ln(1)/(a)−1＞0，f（1）=-a＜0，f（e²）=2-ae²＞0，
∴f（x）在x∈（1，e²）有且只有一个零点．                                                                                  
综上，当a≤0时，f（x）在x∈（1，e²）没有零点；
当0＜a＜(2)/(e2)时，函数f（x）有且只有一个零点．
方法二：由f（x）=0，得a＝(lnx)/(x)，
函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数等价于函数y=a的图象与函数y＝(lnx)/(x)的图象的交点个数，
令g（x）=(lnx)/(x)，则g′(x)＝(1−lnx)/(x2)，
由g'（x）=0，得x=e，
在区间（1，e）上，g'（x）＞0，则函数g（x）是增函数，
∴g（1）＜g（x）＜g（e），即0＜g(x)＜(1)/(e)；
在区间（e，e²）上，g'（x）＜0，则函数g（x）是减函数，
∴g（e²）＜g（x）＜g（e），即(2)/(e2)＜g(x)＜(1)/(e)．
∵a＜(2)/(e2)，∴当a≤0时，f（x）在x∈（1，e²）没有零点；
当0＜a＜(2)/(e2)时，函数f（x）有且只有一个零点．
（3）原不等式x1•x2＞e2⇔lnx₁+lnx₂＞2．                                                         
不妨设x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴a（x₁+x₂）＞2⇔(lnx1−lnx2)/(x1−x2)＞(2)/(x1+x2)⇔ln(x1)/(x2)＞(2(x1−x2))/(x1+x2)．                                                          
令(x1)/(x2)＝t，则t＞1，于是ln(x1)/(x2)＞(2(x1−x2))/(x1+x2)⇔lnt＞(2(t−1))/(t+1)．
设函数h(t)＝lnt−(2(t−1))/(t+1)(t＞1)，则h′(t)＝(1)/(t)−(4)/((t+1)2)＝((t−1)2)/(t(t+1)2)＞0，
故函数h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（1）=0，
即不等式lnt＞(2(t−1))/(t+1)成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．