（2014•抚州）试题背景已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边

Question

（2014•抚州）【试题背景】
已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【探究1】
（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
【探究2】
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为

(√(13))/(2)或(√(37))/(2)

(√(13))/(2)或(√(37))/(2)

．（直接写出结果即可）
【探究3】
如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．
【拓展】
（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M，点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．
猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．

Answer 1

（1）∵l∥k，BE⊥l，
∴∠BFC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵d₁=d₃=1，d₂=2，
∴BE=3，AE=1，
在直角△ABE中，AB=√(BE2+AE2)=√(32+12)=√(10)，
即正方形的边长是√(10)；

（2）过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F．
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
当AB是较短的边时，如图（a），
AB=(1)/(2)BC，则AE=(1)/(2)BF=(3)/(2)，
在直角△ABE中，AB=√(12+((3)/(2))2)=(√(13))/(2)；
当AB是长边时，如图（b），