设圆C1,圆C2,圆C3·····,圆Cn是圆心在抛物线y=x^2上的一系列圆他们的圆心的横坐标分别记为a1,a2········,an,已知a1=1/4,a1>a2>a3·····an>0,又圆Ck（k=1,2,3,······n）都与x轴相切,且顺次逐个相

Question

设圆C1,圆C2,圆C3·····,圆Cn是圆心在抛物线y=x^2上的一系列圆
他们的圆心的横坐标分别记为a1,a2········,an,已知a1=1/4,a1>a2>a3·····an>0,又圆Ck（k=1,2,3,······n）都与x轴相切,且顺次逐个相邻外切
（1）求a2
（2）求由a1,a2········,an构成的数列｛an｝的通项公式；求证：a1^2+a2^2·····an^2

Answer 1

第一问自己求吧
圆C[k]（k=1,2,3,······n）都与x轴相切,且顺次逐个相邻外切
那么圆C[k]的半径Rk=ak^2,而且圆C[k]与圆C[k-1]的圆心的距离等于半径和
所以所以√(a[k]-a[k-1])^2+(a[k]^2-a[k-1]^2)^2 =a[k]^2+a[k-1]^2
所以(a[k]-a[k-1])^2=4a[k]^2a[k-1]^2
a[k-1]-a[k]=2a[k]a[k-1]
同时除以a[k]a[k-1]
1/a[k]-1/a[k-1]=2
所以1/a[k]是等差数列1/a1=4
所以1/a[n]=1/a[1]+2(n-1)=2n+2
a[n]=1/2(n+1)
a[2]=1/6
(2)a[n]=1/2(n+1) a[n]^2=1/4(n+1)^2=1/[4(n+1)*(n+1)]