如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y

Question

如图1，点A为抛物线C ₁ ：y= x ² ﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C ₁ 于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C ₁ 于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C ₁ 于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C ₁ 向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C ₂ ，且抛物线C ₂ 的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

Answer 1

（1）当x=0时，y=﹣2；∵A（0，﹣2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则： ，解得
∴直线AB解析式为y=2x﹣2．
∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y= x ² ﹣2的交点，
则点C的横、纵坐标满足： ，
解得 、 （舍）∴点C的坐标为（4，6）．
（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C ₁ 于D．E两点．
∵y _D =4，y _E = ，∴DE= ．
∴FG=DE=4：3，
∴FG=2．
∴直线x=a分别交直线AB和抛物线C ₁ 于F、G两点．
∴y _F =2a﹣2，y _G = a ² ﹣2×FG=|2a﹣ a ² |=2，
解得：a ₁ =2，a ₂ =﹣2+2 ，a ₃ =2﹣2 ．
（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；
设点M的坐标为（t，0），
抛物线C ₂ 的解析式为y= x ² ﹣2﹣m；
∴0=﹣ t ² ﹣2﹣m，
∴﹣2﹣m=﹣ t ² ．
∴y= x ² ﹣ t ² ，
∴点P坐标为（0，﹣ t ² ）．
∵点N是直线AB与抛物线y= x ² ﹣ t ² 的交点，
则点N的横、纵坐标满足： ，
解得 、 （舍）
∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN×OT=4，NT=﹣ ，NH= （2﹣t），PT=﹣t+ t ² ．
∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，
∴﹣t+ t ² = （2﹣t），
∴t ₁ =﹣2 ，t ₂ =2（舍）
﹣2﹣m=﹣ t ² =﹣ （﹣2 ） ² ，
∴m=2．