设Sn，Tn分别是数列{an}和{bn}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3an=2Sn+3，数列{bn}是等差数列，且T5=25，b10=19．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbnn(n+1)，数列{cn}的前n项和为Rn

Question

设S_n，T_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和，已知对于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，数列{b_n}是等差数列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=(anbn)/(n(n+1))，数列{c_n}的前n项和为R_n，求使R_n>2017成立的n的取值范围．

Answer 1

（I）由3a_n=2S_n+3，可得n=1时，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+3，可得3a_n-3a_n-1=2S_n-2S_n-1=2a_n，可得a_n=3a_n-1，∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为3．∴a_n=3ⁿ．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵T₅=25，b₁₀=19．∴5b₁+(5×4)/(2)d=25，b₁+9d=19，
联立解得b₁=1，d=2．∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）由（I）可得：c_n=(anbn)/(n(n+1))=((2n-1)•3n)/(n(n+1))=([3n-(n+1)]•3n)/(n(n+1))=(3n+1)/(n+1)-(3n)/(n)，
∴数列{c_n}的前n项和为R_n=((32)/(2)-(3)/(1))+((33)/(3)-(32)/(2))+…+((3n+1)/(n+1)-(3n)/(n))
=(3n+1)/(n+1)-3，
由于c_n>0，∴数列{c_n}单调递增，
R₇=817.125<2017，R₈=2184>2017．
∴使R_n>2017成立的n的取值范围是n≥8．