已知等差数列{an}中，2a2+a3+a5=20，且前10项和S10=100．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{an•2an}的前n项和．

Question

已知等差数列{a_n}中，2a₂+a₃+a₅=20，且前10项和S₁₀=100．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{an•2an}的前n项和．

Answer 1

（ I）设公差为d，由已知得

2a2+a3+a5=4a1+8d=20

10a1+(10×9)/(2)d=10a1+45d=100

，（2分）
解得

a1=1

d=2

，（4分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=5+2（n-3）=2n-1，（5分）
（ II）由（ I）可知an•bn=(2n-1)×22n-1，
所以Sn=1×21+3×23+5×25+…+(2n-3)×22n-3+(2n-1)×22n-1，①4Sn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-3)×22n-1+(2n-1)×22n+1，②（7分）
①-②得：-3Sn=2+2×(23+25+…+22n-1)-(2n-1)×22n+1，
∴Sn=(2+2×(23+25+…+22n-1)-(2n-1)×22n+1)/(-3)（9分）
=(2+2×((8(1-4n-1))/(1-4))-(2n-1)×22n+1)/(-3)
=(-6+2×8(1-4n-1)+(6n-3)×22n+1)/(9)（11分）
=(10+(6n-5)×22n+1)/(9)（12分）