设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶线性非齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，C1，C2，C3为任意常数，则该方程的通解是（）A．C1y1+C2y3+C3y3B．C1y1+C2y3+（C1+C2）y3C．C1y1+C2y3-（1-C1-C2

Question

设线性无关的函数y₁，y₂，y₃都是二阶线性非齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，C₁，C₂，C₃为任意常数，则该方程的通解是（　　）

A．C₁y₁+C₂y₃+C₃y₃
B．C₁y₁+C₂y₃+（C₁+C₂）y₃
C．C₁y₁+C₂y₃-（1-C₁-C₂）y₃
D．C₁y₁+C₂y₃+（1-C₁-C₂）y₃

Answer 1

由于y₁，y₂，y₃都是已知方程的线性无关的解，
故y₁-y₃与y₂-y₃线性无关，且均为二阶线性齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0的解，
从而，

.

y

＝C1(y1−y3)+C2(y2−y3)是二阶线性齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解．
根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为：
y=C₁（y₁-y₃）+C₂（y₂-y₃）+y₃=C₁y₁+C₂y₃+（1-C₁-C₂）y₃，
故选：D．