已知方程ln|x|-ax2+32=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A.(0，e22)B.(0，e22]C.(0，e23)D.(0，e23]

Question

已知方程ln|x|-ax²+

(3)/(2)=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A. (0，

(e2)/(2))

B. (0，

(e2)/(2)]

C. (0，

(e2)/(3))

D. (0，

(e2)/(3)]

Answer 1

由ln|x|-ax²+(3)/(2)=0得ax²=ln|x|+(3)/(2)，
∵x≠0，
∴方程等价为a=(ln|x|+(3)/(2))/(x2)，
设f（x）=(ln|x|+(3)/(2))/(x2)，
则函数f（x）是偶函数，
当x>0时，f（x）=(lnx+(3)/(2))/(x2)，
则f′（x）=((1)/(x)•x2-(lnx+(3)/(2))•2x)/(x4)=(x-2xlnx-3x)/(x4)=(-2x(1+lnx))/(x4)，
由f′（x）>0得-2x（1+lnx）>0，得1+lnx<0，即lnx<-1，得0<x<(1)/(e)，此时函数单调递增，
由f′（x）<0得-2x（1+lnx）<0，得1+lnx>0，即lnx>-1，得x>(1)/(e)，此时函数单调递减，
即当x>0时，x=(1)/(e)时，函数f（x）取得极大值f（(1)/(e)）=(ln(1)/(e)+(3)/(2))/(((1)/(e))2)
=（-1+(3)/(2)）e²=(1)/(2)e²，
作出函数f（x）的图象如图：
要使a=(ln|x|+(3)/(2))/(x2)，
有4个不同的交点，
则满足0<a<(1)/(2)e²，
故选：A