3个线性代数问题1、设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为.2、实数向量空间V={(x,y,z)|3x+2y+5z=0}的维数是几3、设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|

Question

3个线性代数问题
1、设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________.
2、实数向量空间V={(x,y,z)|3x+2y+5z=0}的维数是几
3、设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=

Answer 1

1、 _3_.
设A的对应于2的特征向量为x,则 Ax = 2x.所以 A*(Ax) = A*(2x) = 2A*x .
因为 A* A = |A| E,E 为3阶单位矩阵,所以 A*(Ax) =(A*A)x = |A| E x = |A|x = 6x,
所以 2A*x = 6x ,A*x = 3x .所以A*必有一个特征值为3 .
2._2_ 从直观上看,V表示的是三维空间中的平面,平面是一个二维空间,所以答案为2.
从 数学上看,取 v1 = （1,0,-3/5）,v2 =（0,1,-2/5）.
对于V中任意向量（x,y,z）,因为3x+2y+5z=0,所以 z = -(3x+2y)/5.从而存在常数x,y 使得
x1 v1 + x2 v2 = (x,y,-(3x+2y)/5) = (x,y,z) ,即V中任意向量可以由v1,v2 线性表出.
因为 v1,v2线性无关,所以V的维数为2.
3._1_
因为 P为n阶正交矩阵,所以 PP' = P'P = E,E为n阶单位矩阵.
因为x是n维单位长的列向量,所以 ||x|| =1,x' x = || x ||² = 1.
所以 ||Px||² = (Px)' (Px) = x' P' P x = x' E x = x'x =1,
所以 || Px || = 1