若复数z1和z2满足：z2=az1i（a>0），且|z2|+|z1|+|z1-z2|=8+42，z1和z2在复平面中对应的点为Z1和Z2，坐标原点为O，且OZ1⊥OZ2，求△OZ1Z2面积的最大值，并指出此时a的值．

Question

若复数z₁和z₂满足：z₂=az₁i（a>0），且|z₂|+|z₁|+|z₁-z₂|=8+4√(2)，z₁和z₂在复平面中对应的点为Z₁和Z₂，坐标原点为O，且

OZ1

⊥

OZ2

，求△OZ₁Z₂面积的最大值，并指出此时a的值．

Answer 1

设|z₁|=r，则|z₂|=ar，|z₁-z₂|=√(1+a2)r，
∴ar+r+√(1+a2)r=8+4√(2)，
∵a+1≥2√(a)，√(1+a2)≥√(2a)，
∴（2+√(2)）√(a)r≤8+4√(2)（a=1时取等号），
∴√(a)r≤4
∴△OZ₁Z₂面积=(1)/(2)r•ar=(1)/(2)ar2≤8，
当且仅当a=1时，取等号，△OZ₁Z₂面积的最大值为8．