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设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设∫10f(x)dx=A,求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设∫10f(x)dx=A,求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy.
题目详情
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设∫10f(x)dx=A,求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设
f(x)dx=A,求
dx
∫f(x)f(y)dy.
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
▼优质解答
答案和解析
【解法一】交换积分顺序,可得
dx
∫f(x)f(y)dy
=
dy
f(x)f(y) dx
=
dx
f(y) f(x) dy (∵积分值与积分变量无关)
从而,
2
dx
∫f(x)f(y)dy
=
dx
∫f(x)f(y)dy+
dx
f(y) f(x) dy
=
dx(
+
) f(x)f(y) dy
=
dx
f(x)f(y) dy
=
f(x)dx
f(y) dy
=A2.
所以
dx
∫f(x)f(y)dy=
A2 .
【解法2】利用分部积分法.
I=
dx
∫f(x)f(y)dy
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
=
∫ | 1 0 |
∫ | y 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | x 0 |
从而,
2
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
∫ | 1 0 |
∫ | x 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
∫ | x 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
=A2.
所以
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
1 |
2 |
【解法2】利用分部积分法.
I=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
=
作业帮用户
2017-06-08
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