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设M是含有n个正整数的集合,如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和,则称集合M是n级好集合.(Ⅰ)判断集合{1,3,5,7,9}是否是5级好集合,并说明理由;(Ⅱ)给定正整数a,
题目详情
设M是含有n个正整数的集合,如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和,则称集合M是n级好集合.
(Ⅰ)判断集合{1,3,5,7,9}是否是5级好集合,并说明理由;
(Ⅱ)给定正整数a,设集合M={a,a+1,a+2,…,a+k}是好集合,其中k为正整数,试求k的最大值,并说明理由;
(Ⅲ)对于任意n级好集合M,求集合M中最大元素的最小值(用n表示).
(Ⅰ)判断集合{1,3,5,7,9}是否是5级好集合,并说明理由;
(Ⅱ)给定正整数a,设集合M={a,a+1,a+2,…,a+k}是好集合,其中k为正整数,试求k的最大值,并说明理由;
(Ⅲ)对于任意n级好集合M,求集合M中最大元素的最小值(用n表示).
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)该集合是5级好集合.
理由:该集合中5个元素均为奇数,而任2个不同元素之和均为偶数,因此该集合中没有一个元素是另外两个不同元素的和.
(Ⅱ)k的最大值为a
证明:当k=a时,集合M中最小的两个元素之和为2a+1,因此集合M中任意两个不同元素之和的最小值为2a+1,而此时集合M中最大元素为2a<2a+1,因此集合M中任意元素不可能为任意两个不同元素之和,所以k=a时,集合M是好集合.
当k≥a+1时,集合M中的元素2a+1等于另外两个不同元素a和a+1的和,此时集合M不是好集合.
综上,k的最大值为a.
(Ⅲ)集合M中最大元素的最小值为2n-2
证明:当集合M中最大元素为2n-2时,集合M可以为{n-1,n,…,2n-2},该集合中有n个元素,由(Ⅱ)可知该集合为好集合;
若集合M中最大元素为k,且k≤2n-3,则将1+~k−1分组
①k为奇数,分组如下:(1,k-1),(2,k-2)…,(
,
),共
组,
≤n-2,由于M中有n个元素,所以需要在以上
组选出n-1个数,则必有两个数在同一组,这两个数之和为k,则集合M中的元素k必可表示为其他两个不同元素之和,M不是好集合.
②k为偶数,则有k≤2n-4,此时分组如下:(1,k-1),(2,k-2)…,(
,
),(
),共
组,
≤n-2,由于M中有n个元素,所以需要在以上
组选出n-1个数,则必有两个数在同一组,这两个数之和为k,则集合M中的元素k必可表示为其他两个不同元素之和,M不是好集合.
综合①②,集合M中最大元素小于等于2n-3时,集合M必不是好集合.
综上,集合M中最大元素的最小值为2n-2.
理由:该集合中5个元素均为奇数,而任2个不同元素之和均为偶数,因此该集合中没有一个元素是另外两个不同元素的和.
(Ⅱ)k的最大值为a
证明:当k=a时,集合M中最小的两个元素之和为2a+1,因此集合M中任意两个不同元素之和的最小值为2a+1,而此时集合M中最大元素为2a<2a+1,因此集合M中任意元素不可能为任意两个不同元素之和,所以k=a时,集合M是好集合.
当k≥a+1时,集合M中的元素2a+1等于另外两个不同元素a和a+1的和,此时集合M不是好集合.
综上,k的最大值为a.
(Ⅲ)集合M中最大元素的最小值为2n-2
证明:当集合M中最大元素为2n-2时,集合M可以为{n-1,n,…,2n-2},该集合中有n个元素,由(Ⅱ)可知该集合为好集合;
若集合M中最大元素为k,且k≤2n-3,则将1+~k−1分组
①k为奇数,分组如下:(1,k-1),(2,k-2)…,(
k−1 |
2 |
k+1 |
2 |
k−1 |
2 |
k−1 |
2 |
k−1 |
2 |
②k为偶数,则有k≤2n-4,此时分组如下:(1,k-1),(2,k-2)…,(
k−2 |
2 |
k+2 |
2 |
k |
2 |
k |
2 |
k |
2 |
k |
2 |
综合①②,集合M中最大元素小于等于2n-3时,集合M必不是好集合.
综上,集合M中最大元素的最小值为2n-2.
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