如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角形CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现奖三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置。（1

Question

如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角形CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现奖三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置。
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S _△AMF ：S _△OAB =16：3，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

图1                                          图2                                              图3

Answer 1

（1）C′（3， ）；
（2）∵抛物线过原点O（0，0），
设抛物线解析式为y=ax ² +bx
把A（2，0），C′（3， ）代入，得
解得a= ，b=-
∴抛物线解析式为y= x ² - x；
（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°
又AB=2
∴AF=4
∴OF=2
∴F（-2，0）
设直线BF的解析式为y=kx+b
把B（1， ），F（-2，0）带入，
得
解得k= ，b=
∴直线BF的解析式为y= x+ ；
（4）①当M在x轴上方时，存在M（x， x ² - x）
S _△AMF ：S _△OAB =[ ×4×（ x ² - x）]：[ ×2×4]=16：3
得x ² -2x-8=0，
解得x ₁ =4，x ₂ =-2
当x ₁ =4时，y= ×4 ² - ×4= ；
当x ₁ =-2时，y= ×（-2） ² - ×（-2）=
∴M ₁ （4， ），M ₂ （-2， ）
②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x， x ² - x）
S _△AMF ：S _△OAB =[- ×4×（ x ² - x）]：[ ×2×4]=16：3
得x ² -2x+8=0，b ² -4ac＜0 无解
综上所述，存在点的坐标为M ₁ （4， ），M ₂ （-2， ）。