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小华同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发球,如图1所示,网球场前半区、后半区总长为23.77米,球网的中间部分高度为0.914米,发射器固定安装在后半区离球网底部8
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小华同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发球,如图1所示,网球场前半区、后半区总长为23.77米,球网的中间部分高度为0.914米,发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上,发射方向与球网底部所在直线垂直.为计算方便,球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算,发射器和网球大小均忽略不计.如图2所示,以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上的球场中轴线上,y轴垂直于地平面,单位长度为1米.已知若不考虑球网的影响,网球发射后的轨迹在方程=
kx-
(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.发射器的射程是指网球落地点的横坐标.
(1)求发射器的最大射程;
(2)请计算k在什么范围内,发射器能将球发过网(即网球飞行到球网正上空时,网球离地距离大于1米)?若发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球,试问击球点的横坐标a最大为多少?并请说明理由.
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2 |
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(1)求发射器的最大射程;
(2)请计算k在什么范围内,发射器能将球发过网(即网球飞行到球网正上空时,网球离地距离大于1米)?若发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球,试问击球点的横坐标a最大为多少?并请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由
kx-
(1+k2)x2=0得:x=
或x=0,…(2分)
由x=
≤20,当且仅当k=1时取等号.
因此,最大射程为20米; …(5分)
(2)网球发过球网,满足x=8时y>1.
所以4k-
(1+k2)>1,即4k2-20k+9<0,因此
<k<
…(8分)
依题意:关于k的方程
ka-
(1+k2)a2=2.55在(
,
)上有实数解
即a2k2-40ak+a2+204=0(a≠0)…9分
△=1600a2-4a2(a2+204)≥0得a≤14,…(11分)
此时k=
,球过网了,所以击球点的横坐标 a最大为14 …(12分)
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40k |
1+k2 |
由x=
40 | ||
k+
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因此,最大射程为20米; …(5分)
(2)网球发过球网,满足x=8时y>1.
所以4k-
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依题意:关于k的方程
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即a2k2-40ak+a2+204=0(a≠0)…9分
△=1600a2-4a2(a2+204)≥0得a≤14,…(11分)
此时k=
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