三角形ABC的面积为2倍根号3,A.B.C的对边为a.b.c...AB向量乘AC向量等于4,求角a大小,求（b+c）/2a的最大值

Question

三角形ABC的面积为2倍根号3,A.B.C的对边为a.b.c...AB向量乘AC向量等于4,求角a大小,求（b+c）/2a的最大值

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC的面积＝2√3,∴（1/2）AB×ACsinA＝2√3,∴AB×AC＝4√3/sinA.
又cosA＝向量AB·向量AC/（AB×AC）＝4/（4√3/sinA）＝（1/√3）sinA,∴cotA＝1/√3,
∴A＝60°.
第二个问题：
由余弦定理,有：a^2＝b^2＋c^2－2bccosA＝［（b＋c）^2－2bc］－2bccos60°,
∴a^2＝（b＋c）^2－3bc.······①
在△ABC中,显然有：a、b、c都是正数,∴b＋c≧2√（bc）,∴（b＋c）^2≧4bc,
∴bc≦（1/4）（b＋c）^2,∴－3bc≧－（3/4）（b＋c）^2.······②
由①、②两相加,得：a^2≧（b＋c）^2－（3/4）（b＋c）^2＝（1/4）（b＋c）^2,
∴（b＋c）^2/a^2≦4,∴0＜（b＋c）/a≦2,∴0＜（b＋c）/（2a）≦1.
∴（b＋c）/（2a）的最大值为1.