已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+4，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{1Sn}的前n项和公式．

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+4，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{(1)/(Sn)}的前n项和公式．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d≠0．
因为S₃=a₄+4，
所以3a1+(3×2×d)/(2)＝a1+3d+4．①
因为a₁，a₂，a₄成等比数列，
所以a1(a1+3d)＝(a1+d)2．②…（5分）
由①，②可得：a₁=2，d=2．…（6分）
所以a_n=2n．…（7分）
（Ⅱ）由a_n=2n可知：Sn＝((2+2n)×n)/(2)＝n(n+1)．…（9分）
所以(1)/(Sn)＝(1)/(n(n+1))＝(1)/(n)−(1)/(n+1)．…（11分）
所以(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn−1)+(1)/(Sn)
=1−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)
=1−(1)/(n+1)＝(n)/(n+1)．
所以数列{(1)/(Sn)}的前n项和为(n)/(n+1)．…（12分）