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已知等差数列{an}的前n项和为sn,公差d≠0,s5=4a3+6,且a1,a3,a9成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式.(2)求数列{sn分之1}的前n张和公式
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已知等差数列{an}的前n项和为sn,公差d≠0,s5=4a3+6,且a1,a3,a9成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式.(2)求数列{sn分之1}的前n张和公式
▼优质解答
答案和解析
(1)
S5=5a1+10d 4a3+6=4a1+8d+6
S5=4a3+6,则5a1+10d=4a1+8d+6 a1+2d=6 a3=6
a1、a3、a9成等比数列,则
a3²=a1×a9
(a3-2d)(a3+6d)=a3²
(6-2d)(6+6d)=36
整理,得
d²-2d=0
d(d-2)=0
d=0(与已知矛盾,舍去)或d=2
a1=a3-2d=6-4=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)
Sn=a1+a2+...+an=2(1+2+...+n)=2n(n+1)/2=n(n+1)
1/Sn=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
前n项和Tn=1/S1+1/S2+...+1/Sn
=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1- 1/(n+1)
=n/(n+1)
S5=5a1+10d 4a3+6=4a1+8d+6
S5=4a3+6,则5a1+10d=4a1+8d+6 a1+2d=6 a3=6
a1、a3、a9成等比数列,则
a3²=a1×a9
(a3-2d)(a3+6d)=a3²
(6-2d)(6+6d)=36
整理,得
d²-2d=0
d(d-2)=0
d=0(与已知矛盾,舍去)或d=2
a1=a3-2d=6-4=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)
Sn=a1+a2+...+an=2(1+2+...+n)=2n(n+1)/2=n(n+1)
1/Sn=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
前n项和Tn=1/S1+1/S2+...+1/Sn
=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1- 1/(n+1)
=n/(n+1)
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