如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若F为CD上异于C、D的

Question

如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（1）若F为

CD

上异于C、D的点，线段AB经过点F．
①直接写出∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FA•FB；
（2）设b≥5√(2)，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①如图1，连接CD，则∠CFE=∠CDE，

又∵OD⊥OC，OC=OD，
∴∠CFE=∠CDE=45°；
②由①知∠EFC=45°，且OB=OA=b，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠EFC+∠CFA=∠CFA+∠OAF，
∴∠EFA=∠FCO，
∴∠EFB=∠FCA，
∴△BEF∽△AFC，
∴(BE)/(BF)=(AF)/(AC)，
又∵BE=OE+OB=b+5，AC=OA-OC=b-5，
∴(b+5)/(BF)=(AF)/(b−5)，
∴FA•FB=（b+5）（b-5）=b²-25；
（2）如图2，

由（1）②可得：BP•AP=b²-25，
设BP=x，由y=-x+b可得OA=OB=b，在Rt△OAB中可求得AB=√(2)b，则AP=√(2)b-x，代入BP•AP=b²-25，
整理可得：x²-√(2)bx+b²-25=0，
该方程的判断式为：△=2b²-4（b²-25）=100-2b²，
当b＞5√(2)时，△＜0，可知此时方程无实数解，即此时在线段AB上不存在使∠CPE=45°的点P，
当b=5√(2)时，△=0，此时方程为x²-10x+25=0，此时方程的解为x₁=x₂=5，
此时BP=5，AB=10，则AP=5，即P为AB的中点，
所以OP=5，由勾股定理可求得点P的坐标为（(5√(2))/(2)，(5√(2))/(2)）．