已知数列{an}是等比数列，其前n项的和为Sn，a1+2a2=0，S4-S2=18（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{anSn}的前n项的和；（3）求使不等式an≥116成立的n的集合．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，其前n项的和为S_n，a₁+2a₂=0，S₄-S₂=(1)/(8)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nS_n}的前n项的和；
（3）求使不等式 a_n≥(1)/(16)成立的n的集合．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}公比是q，
∵a₁+2a₂=0，∴q＝(a2)/(a1)=−(1)/(2)．
∵S₄-S₂=(1)/(8)，
∴(a1[1−(−(1)/(2))4])/(1−(−(1)/(2)))−a1(1−(1)/(2))＝(1)/(8)，解得a₁=1．
∴an＝a1qn−1＝1×(−(1)/(2))n−1=(−(1)/(2))n−1．
（2）由（1）可得Sn＝(1−(−(1)/(2))n)/(1−(−(1)/(2)))=(2)/(3)[1−(−(1)/(2))n]，
∴a_nS_n=(2)/(3)[(−(1)/(2))n−1−(−(1)/(2))2n−1]．
∴数列{a_nS_n}的前n项的和=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n
=(2)/(3)[(1−(−(1)/(2))n)/(1−(−(1)/(2)))−(−(1)/(2)(−(−(1)/(2))2n))/(1−(−(1)/(2))2)]=(8)/(9)−(4)/(9)(−(1)/(2))n

作业帮用户 2017-10-05 举报