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如图,已知△ABC为等边三角形,M为三角形外任意一点.(1)请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM;(2)线段AM是否存在最大值?若存在,请指出存在的条件;若不存在,请说明理由.
题目详情
如图,已知△ABC为等边三角形,M为三角形外任意一点.
(1)请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM;
(2)线段AM是否存在最大值?若存在,请指出存在的条件;若不存在,请说明理由.
(1)请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM;
(2)线段AM是否存在最大值?若存在,请指出存在的条件;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)将△BMC绕B点逆时针方向旋转,使C点与A点重合,得△BM′A,(1分)
∵∠MBM′=60°,BM=BM′,AM′=MC.
∴△BMM′为正三角形.
∴MM′=BM.(2分)
①若M′在AM上,
则AM=AM′+MM′=BM+MC,(3分)
②若M′不在AM上,连接AM′、MM′,
在△AMM′中,根据三角形三边关系可知:
AM<AM′+MM′,
∴AM<BM+MC,
综上所述:AM≤BM+CM;(5分)
(2)线段AM有最大值.(6分)
当且仅当M′在AM上时,AM=BM+MC;
存在的条件是:∠BMC=120°.(8分)
∵∠MBM′=60°,BM=BM′,AM′=MC.
∴△BMM′为正三角形.
∴MM′=BM.(2分)
①若M′在AM上,
则AM=AM′+MM′=BM+MC,(3分)
②若M′不在AM上,连接AM′、MM′,
在△AMM′中,根据三角形三边关系可知:
AM<AM′+MM′,
∴AM<BM+MC,
综上所述:AM≤BM+CM;(5分)
(2)线段AM有最大值.(6分)
当且仅当M′在AM上时,AM=BM+MC;
存在的条件是:∠BMC=120°.(8分)
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