已知圆O的半径为R,它的内接三角形ABC中,2R(sin平方A-sin平方C)=(根号2a-b)sinB成立,求三角形ABC面积S的最大值.

Question

已知圆O的半径为R,它的内接三角形ABC中,2R(sin平方A-sin平方C)=(根号2a-b)sinB成立,求三角形ABC面积S的最大值.

Answer 1

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
2R（sin² A-sin² C)=(根号2*a-b)*sinB
a^2-c^2=根号ab-b^2
a^2+b^2-c^2=根号ab
利用余弦,cosC=根号2/2
利用基本不等式
a=b的时候,S最大
a=b代入a^2+b^2-c^2=根号ab
2a^2-根号2a^2=c^2
2-根号2=c^2/a^2
2-根号2=sin^2C/sin^2A
sin^2A=(2+根号2)/4
S=a^2sinC/2=(根号2+1)R^2/2