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如图,在△ABC中,AB=AC,D为三角形内一点,且△DBC为等边三角形.(1)求证:直线AD垂直平分BC;(2)以AB为一边,在AB的右侧画等边△ABE,连接DE,试判断以DA,DB,DE三条线段是否能构成直
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如图,在△ABC中,AB=AC,D为三角形内一点,且△DBC为等边三角形.
(1)求证:直线AD垂直平分BC;
(2)以AB为一边,在AB的右侧画等边△ABE,连接DE,试判断以DA,DB,DE三条线段是否能构成直角三角形?请说明理由.
(1)求证:直线AD垂直平分BC;
(2)以AB为一边,在AB的右侧画等边△ABE,连接DE,试判断以DA,DB,DE三条线段是否能构成直角三角形?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵△DBC为等边三角形,
∴DB=DC,
∴D在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,
∴A在BC的垂直平分线上,
∴直线AD垂直平分BC;
(2)以DA,DB,DE三条线段能构成直角三角形;
理由:连接CE,
∵∠ABD=∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC,
在△EBC和△ABD中,
,
∴△EBC≌△ABD(SAS),
∴∠BCE=∠ADB,AD=CE,
在△ADB和△ADC中,
,
∴△ADB≌△ADC(SSS),
∴∠ADB=∠ADC,
∴∠ADB=
(360°-∠BCD)=150°,
∴∠BCE=∠BDA=150°,
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°,
∵CE=DA,DC=DB,
∴以DA,DB,DE三条线段能构成直角三角形.
∴DB=DC,
∴D在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,
∴A在BC的垂直平分线上,
∴直线AD垂直平分BC;
(2)以DA,DB,DE三条线段能构成直角三角形;
理由:连接CE,
∵∠ABD=∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC,
在△EBC和△ABD中,
|
∴△EBC≌△ABD(SAS),
∴∠BCE=∠ADB,AD=CE,
在△ADB和△ADC中,
|
∴△ADB≌△ADC(SSS),
∴∠ADB=∠ADC,
∴∠ADB=
1 |
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∴∠BCE=∠BDA=150°,
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°,
∵CE=DA,DC=DB,
∴以DA,DB,DE三条线段能构成直角三角形.
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