（2007•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Question

（2007•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

（法一）如图建立空间直角坐标系．   …（2分）

由题意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0）．
∴

A′F

＝( 0，1，−2 )，

CE

＝( 2，−1，2 )．…（6分）
设直线A′F与CE所成角为θ，
则cosθ＝(|A′F•CE|)/(|A′F|•|CE|)＝(5)/(√(5)•3)＝(√(5))/(3)．  …（10分）
∴θ＝arccos(√(5))/(3)，
即异面直线A'F与CE所成角的大小为arccos(√(5))/(3)．          …（12分）
（法二）：连接EB，…（2分）

∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四边形，则A'F∥EB，
∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角．     …（6分）
由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．
在Rt△CEB中，CB＝2，BE＝√(5)，
则tan∠CEB＝(2√(5))/(5)，…（10分）
∴∠CEB＝arctan(2√(5))/(5)．
∴异面直线A'F与CE所成角的大小为arctan(2√(5))/(5)．         …（12分）