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如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上,一边EN在x
题目详情
如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上,一边EN在x轴上(如图2).设点E的坐标为(x,0),矩形EFMN的周长为L,求L的最大值及此时点E的坐标;
(3)在(2)的前提下(即当L取得最大值时),在抛物线对称轴上是否存在一点P,使△PMN沿直线PN折叠后,点M刚好落在y轴上?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上,一边EN在x轴上(如图2).设点E的坐标为(x,0),矩形EFMN的周长为L,求L的最大值及此时点E的坐标;
(3)在(2)的前提下(即当L取得最大值时),在抛物线对称轴上是否存在一点P,使△PMN沿直线PN折叠后,点M刚好落在y轴上?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可设抛物线为y=a(x+1)(x-3),
抛物线过点(0,3),
∴3=a(0+1)(0-3),
解得:a=-1,
抛物线的解析式为:y=-(x+1)(x-3),
即:y=-x2+2x+3;
(2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x=1,
∵E(x,0),
∴F(x,-x2+2x+3),EN=2(1-x),
∴L=2EN+2EF=4(1-x)+2(-x2+2x+3),
化简得 l=-2x2+10,
∵-2<0,
∴当x=0时,L取得最大值是10,
此时点E的坐标是(0,0);
(3)由(2)得:E(0,0),F(0,3),M(2,3),N(2,0),
设存在满足条件的点P(1,y),
并设折叠后点M的对应点为M1,
∴∠NPM=∠NPM1=90°,PM=PM1,
PG=3-y,GM=1,PH=|y|,HN=1,
∵∠NPM=90°,
∴PM2+PN2=MN2,
∴(3-y)2+12+y2+12=32,
解得:)时,点M1也在y轴上,
故存在满足条件的点P,点P的坐标为(1,)或(1,).
抛物线过点(0,3),
∴3=a(0+1)(0-3),
解得:a=-1,
抛物线的解析式为:y=-(x+1)(x-3),
即:y=-x2+2x+3;
(2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x=1,
∵E(x,0),
∴F(x,-x2+2x+3),EN=2(1-x),
∴L=2EN+2EF=4(1-x)+2(-x2+2x+3),
化简得 l=-2x2+10,
∵-2<0,
∴当x=0时,L取得最大值是10,
此时点E的坐标是(0,0);
(3)由(2)得:E(0,0),F(0,3),M(2,3),N(2,0),
设存在满足条件的点P(1,y),
并设折叠后点M的对应点为M1,
∴∠NPM=∠NPM1=90°,PM=PM1,
PG=3-y,GM=1,PH=|y|,HN=1,
∵∠NPM=90°,
∴PM2+PN2=MN2,
∴(3-y)2+12+y2+12=32,
解得:)时,点M1也在y轴上,
故存在满足条件的点P,点P的坐标为(1,)或(1,).
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