证明分母含有除2、5以外的质因数的最简分数能化为无限循环小数比如证明6/7是无限循环小数?（证明!）

Question

证明分母含有除2、5以外的质因数的最简分数能化为无限循环小数
比如证明6/7是无限循环小数?（证明!）

Answer 1

很简单的道理,因为十进制小数的体制决定了1/9,1/99,1/999……这样的分数必然是0.11111……,0.010101……,0.001001001……这样的循环小数,所以如果分母含有2和5以外的质因数,比如7,那么只要证明1/7=142857/999999,结果就必然是1/7=0.142857142857……,
所以问题在于证明任何一个不是2和5的质因数总是若干个9组成的数字的因数,比如13=999999/76923.这个可以由构造法实现,只要用10000……除以这个质数的余数为1,问题就解决了.比如先用100除以13,余数不是1,于是用1000来试,又不行,一直试到1000000满足,于是999999就是循环满足的被除数,得到的商076923就是循环节.
现在需要证明这个数字一定存在.其实也很简单.比如说当100/13的时候余数是9,那么1000的时候余数就是90（10个100除以9）,也就是12,1000的时候余数便是120,也就是3,然后是30,也就是4,然后是40,也就是1.余数只有那么几个,经过足够多的计算总要产生一个1.按照这样的规则,以13为例,可能考虑的余数除了第一个初值,其它的只会有10,20,30,……120这几个,不论什么数字,这些数里必然有一个的余数是1,而这个数又可以由其它的经过多次推导得到.于是问题解决了.
由此也可以看到,假如质数是好几十,那么循环节的位数可能长的吓人,假如是29,从初值13开始,在10.20.30.……280里跳动,经过许多次的计算才得到一个30满足条件.最后得到1/29=0.0344827586206896551724137931……
这些都是我自己分析的结果,