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右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面),被一平面所截得的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=900,AA1=4,BB1=2,CC1=3(I)设点O是AB的中点,证明:OC∥平面A1B1C1(II)求AB与平面AA1CC1所
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右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面),被一平面所截得的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=900,AA1=4,BB1=2,CC1=3
(I)设点O是AB的中点,证明:OC∥平面A1B1C1
(II)求AB与平面AA1CC1所成角的大小.
(I)设点O是AB的中点,证明:OC∥平面A1B1C1
(II)求AB与平面AA1CC1所成角的大小.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:作OD∥AA1交A1B1于D,连C1D.
则OD∥AA1交A1B1于D,连C1D因为O是AB的中点,
所以OD=
(AA1+BB1)=3=CC1.
则ODC1C是平行四边形,因此有OC∥C1D,C1D⊂平面C1B1A1,且OC⊄平面C1B1A1
则OC∥面A1B1C1. ….(7分)
(Ⅱ)如图,过B作截面BA2C2∥面A1B1C1,分别交AA1,CC1于A2,C2,
作BH⊥A2C2于H,
因为平面A2BC2⊥平面AA1C1C,则BH⊥面AA1C1C.
连接AH,则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角.
因为BH=
,AB=
,所以sin∠BAH=
=
.AB与面AA1C1C所成的角为∠BAH=arcsin
.….(14分)
解法二:
(Ⅰ)证明:如图,以B1为原点建立空间直角坐标系,则A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),因为O是AB的中点,所以O(0,
,3),
=(1,−
,0),
易知,
则OD∥AA1交A1B1于D,连C1D因为O是AB的中点,
所以OD=
1 |
2 |
则ODC1C是平行四边形,因此有OC∥C1D,C1D⊂平面C1B1A1,且OC⊄平面C1B1A1
则OC∥面A1B1C1. ….(7分)
(Ⅱ)如图,过B作截面BA2C2∥面A1B1C1,分别交AA1,CC1于A2,C2,
作BH⊥A2C2于H,
因为平面A2BC2⊥平面AA1C1C,则BH⊥面AA1C1C.
连接AH,则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角.
因为BH=
| ||
2 |
5 |
BH |
AB |
| ||
10 |
| ||
10 |
解法二:
(Ⅰ)证明:如图,以B1为原点建立空间直角坐标系,则A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),因为O是AB的中点,所以O(0,
1 |
2 |
OC |
1 |
2 |
易知,
作业帮用户
2017-09-18
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看了 右图是一个直三棱柱(以A1B...的网友还看了以下:
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